Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных
сторон четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой — в
отношении
Докажите, что данный четырёхугольник — трапеция.
Найдите отношение оснований этой трапеции.
Показать разбор
А. Пусть и — середины сторон соответственно и
четырёхугольника причём отрезок делит площадь четырёхугольника пополам. Отрезок — медиана треугольника поэтому Тогда
Треугольники и с равными сторонами и равновелики, значит, их высоты и опущенные на эти стороны, равны. Следовательно, т. е. четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
Пусть и — середины сторон и соответственно. Предположим, что Тогда отрезок разбивает параллелограмм на две равновеликие части, что противоречит условию задачи. Таким образом, четырёхугольник — трапеция с основаниями и
Б. Пусть высота трапеции равна Тогда так как — средняя линия трапеции. Поэтому