Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью a , содержащей прямую BD_1 и параллельной прямой AC, является ромб. Докажите, что грань ABCD — квадрат. Найдите угол между... | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T29532

Сечением прямоугольного параллелепипеда

плоскостью содержащей прямую

и параллельной прямой

является ромб.

Докажите, что грань — квадрат.
Найдите угол между плоскостями и если

Показать разбор

А. Плоскость

проходит через прямую

параллельную плоскости и имеет с плоскостью общую точку следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой проходящей через точку параллельно

Пусть прямая

пересекает прямые

и

в точках и соответственно, — точка пересечения

и

— точка пересечения

и

Тогда сечение параллелепипеда плоскостью — ромб

Поскольку

и

четырёхугольник

— параллелограмм, поэтому

Треугольники

и

равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, следовательно, — середина

Аналогично докажем, что — середина

поэтому

— средняя линия треугольника

а так как

(как диагонали ромба), то

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

т. е. диагонали прямоугольника

перпендикулярны, следовательно, это квадрат.

Б. Плоскости и

пересекаются по прямой

а

— перпендикуляр к плоскости

Пусть

— высота прямоугольного треугольника

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

Значит,

— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и

Тогда

Ответ: Б.

Это задание составили эксперты МЦНМО

Это задание в разделах:

Стереометрическая задача

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

пн

0

вт

0

ср

0

чт

0

пт

0

сб

0

вс