Перепишем уравнение в виде
и рассмотрим функции 
и 
определённые и непрерывные на всей числовой прямой. График функции 
представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей. При 
каждое звено ломаной является частью прямой вида 
где 
(поскольку вне зависимости от «раскрытия» другого модуля коэффициент при x будет отрицательным). Следовательно, на промежутке 
функция убывает от 
до 
Совершенно аналогично можно показать, что на промежутке 
функция возрастает от 
до 
Поэтому в точке 
эта функция достигает своего наибольшего значения, т. е. 
Ясно, что 
причём на промежутке функция 
возрастает от 
до 
а на промежутке функция 
убывает от 
до 
Поэтому для рассматриваемых функций уравнение 
имеет хотя бы один корень в том и только том случае, если 
то есть если 
При 
последнее неравенство приводится к виду 
откуда 
При 
неравенство 
приводится к виду 
то есть 
откуда 
Ответ: 
при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень.
