Задание 18. Задача с параметром: все задания

Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).

Версия для печати

16. Задание#T7522

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень на отрезке

Показать разбор

Решение.

Уравнение

равносильно системе

Эта система имеет единственный корень

на отрезке

при

и не имеет корней на этом отрезке при других значениях .

Уравнение

равносильно уравнению

Оно имеет единственный корень

на отрезке

при

и не имеет корней на этом отрезке при других значениях .

Поскольку

, уравнение

имеет единственный корень на отрезке

при

Ответ:

;

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 13 тыс. раз. С ним справились 6% пользователей.

17. Задание#T7503

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень на отрезке

Показать разбор

Число

не является корнем уравнения ни при каком значении . Поэтому уравнение равносильно уравнению

Рассмотрим функцию

и исследуем её поведение на отрезке

. Функция определена при всех

. Найдём производную:

Производная обращается в нуль в точке

. На промежутках

функция убывает, а на промежутке

— возрастает. Следовательно, точка

— единственная точка минимума, значение в этой точке равно . Эскиз графика изображён на рисунке.

Найдем значения функции в концах отрезка:

Поэтому:

если , то график функции и прямая имеют единственную общую точку при ;
если , общих точек нет;
если , линии имеют единственную общую точку ;
если , то линии имеют две различные общие точки при ;
если , то линии имеют одну общую точку при и ещё одну при .

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 11 тыс. раз. С ним справились 5% пользователей.

18. Задание#T7484

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень на отрезке

Показать разбор

Число

не является корнем уравнения ни при каком значении . Поэтому уравнение равносильно уравнению

Рассмотрим функцию

и исследуем её поведение на отрезке

. Функция определена при всех

. Найдём производную:

Производная обращается в нуль в точке

. На промежутках

функция убывает, а на промежутке

— возрастает. Следовательно, точка

— единственная точка минимума, значение в этой точке равно . Эскиз графика изображён на рисунке.

Найдем значения функции в концах отрезка:

Поэтому:

если , то график функции и прямая имеют единственную общую точку при ;
если , общих точек нет;
если , линии имеют единственную общую точку ;
если , то линии имеют две различные общие точки при ;
если , то линии имеют одну общую точку при и ещё одну при .

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 8 тыс. раз. С ним справились 5% пользователей.

19. Задание#T4433

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно корня.

Показать разбор

Уравнение равносильно системе

Из уравнения получаем

Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при

выполнялось неравенство

, а также чтобы были выполнены условия

Получаем систему неравенств:

откуда

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 9 тыс. раз. С ним справились 7% пользователей.

20. Задание#T4254

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно корня.

Показать разбор

Уравнение равносильно системе

Из уравнения получаем

Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при

выполнялось неравенство

, а также чтобы были выполнены условия

Получаем систему неравенств:

откуда

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 12 тыс. раз. С ним справились 7% пользователей.

21. Задание#T4235

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня на промежутке

Показать разбор

Сделаем замену

Получаем

;

Следовательно,

. Дискриминант этого уравнения равен

, поэтому оно при всех значениях имеет ровно два различных корня. Положим

. Так как

, оба корня уравнения

принадлежат промежутку

тогда и только тогда, когда

, то есть когда

. Значит, уравнение

имеет ровно два различных корня на промежутке

при

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 8 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

22. Задание#T4216

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня на промежутке

Показать разбор

Сделаем замену

Получаем

;

Следовательно,

. Дискриминант этого уравнения равен

, поэтому оно при всех значениях имеет ровно два различных корня. Положим

. Так как

, оба корня уравнения

принадлежат промежутку

тогда и только тогда, когда

, то есть когда

Значит, уравнение

имеет ровно два различных корня на промежутке

при

Ответ:

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 10 тыс. раз. С ним справились 10% пользователей.

23. Задание#T3607

Найдите все значения , при которых система

имеет хотя бы одно решение

Это задание взято из досрочного варианта ФИПИ для ЕГЭ-2017

24. Задание#T3555

Найдите все значения , при которых уравнение

имеет единственное решение на отрезке

Показать разбор

Уравнение

равносильно уравнениям

Положим

. Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке

тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен

имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу

, либо

имеет единственный корень на отрезке

, равный или , либо квадратный трёхчлен

принимает при

ненулевые значения разных знаков.

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен

имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при

, а значит, при

При таком значении уравнение

имеет единственный корень

, он принадлежит отрезку

Рассмотрим второй случай. Имеем

. Значит,

при

. При таком значении уравнение

имеет два решения

на отрезке

. Аналогично

при

. При таком значении уравнение

имеет единственное решение

на отрезке

Рассмотрим третий случай. Значения

имеют разные знаки тогда и только тогда, когда

, или, что то же самое, при

Следовательно, уравнение

имеет единственное решение на отрезке

тогда и только тогда, когда

или

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все значения , но ответ содержит лишнее значение
С помощью верного рассуждения получены все решения уравнения
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

25. Задание#T3528

Найдите все значения , при которых уравнение

имеет единственное решение на отрезке

Показать разбор

Уравнение

равносильно уравнениям

Положим

. Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке

тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен

имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу

, либо

имеет единственный корень на отрезке

, равный или , либо квадратный трёхчлен

принимает при

ненулевые значения разных знаков.

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен

имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при

, а значит, при

При таком значении уравнение

имеет единственный корень

, он принадлежит отрезку

Рассмотрим второй случай. Имеем

. Значит,

при

. При таком значении уравнение

имеет два решения

на отрезке

. Аналогично

при

. При таком значении уравнение

имеет единственное решение

на отрезке

Рассмотрим третий случай. Значения

имеют разные знаки тогда и только тогда, когда

, или, что то же самое, при

Следовательно, уравнение

имеет единственное решение на отрезке

тогда и только тогда, когда

или

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все значения , но ответ содержит лишнее значение
С помощью верного рассуждения получены все решения уравнения
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

26. Задание#T3509

Найдите все значения , при которых уравнение

имеет единственное решение на отрезке

Показать разбор

Уравнение

равносильно уравнениям

Положим

. Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке

тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен

имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу

, либо

имеет единственный корень на отрезке

, равный или , либо квадратный трёхчлен

принимает при

ненулевые значения разных знаков.

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен

имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при

, а значит, при

При таком значении уравнение

имеет единственный корень

, он принадлежит отрезку

Рассмотрим второй случай. Имеем

. Значит,

при

. При таком значении уравнение

имеет два решения

на отрезке

. Аналогично

при

. При таком значении уравнение

имеет единственное решение

на отрезке

Рассмотрим третий случай. Значения

имеют разные знаки тогда и только тогда, когда

, или, что то же самое, при

Следовательно, уравнение

имеет единственное решение на отрезке

тогда и только тогда, когда

или

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все значения , но ответ содержит лишнее значение
С помощью верного рассуждения получены все решения уравнения
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

27. Задание#T3377

Найдите все значения , при которых уравнение

имеет единственное решение на отрезке

Показать разбор

Раскроем скобки в левой части уравнения:

Вычтем из правой части левую и упростим уравнение:

Положим

. Заметим, что

- это квадратный трёхчлен, поэтому

имеет единственный корень на отрезке

тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев:

имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу ;
имеет единственный корень на отрезке , равный или ;
принимает при и ненулевые значения разных знаков.

---

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен

имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при

, а значит, при

При таком значении уравнение

имеет единственный корень

, он принадлежит отрезку

---

Рассмотрим второй случай. Имеем

. Значит,

при

. При таком значении уравнение

имеет два решения

на отрезке

.
Аналогично

при

. При таком значении уравнение

имеет единственное решение

на отрезке

---

Рассмотрим третий случай. Значения

имеют разные знаки тогда и только тогда, когда

, или, что то же самое, при

---

Следовательно, уравнение

имеет единственное решение на отрезке

тогда и только тогда, когда

или

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все значения , но ответ содержит лишнее значение
С помощью верного рассуждения получены все решения уравнения
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

28. Задание#T1508

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Показать разбор

Решение.

Если

, то уравнение

задаёт окружность с центром в точке (; ) радиусом , а если

, то оно задаёт окружность с центром в точке (; ) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях уравнение

задаёт окружность с центром в точке (; ) радиусом . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как

, то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Из точки проведём луч

и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как

, то

При

или

окружности и не пересекаются.

При

окружности и имеют две общие точки.

При

или

окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как

, то условию задачи удовлетворяют только числа

Ответ:

;

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но ИЛИ в ответ включены также и одно-два неверных значения; ИЛИ решение недостаточно обосновано.
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра.
Задача сведена к исследованию: ИЛИ взаимного расположения трёх окружностей; ИЛИ двух квадратных уравнений с параметром.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Максимальный балл

Это задание взято из демовариантов ФИПИ 2018-2020

0 баллов сегодня

дней без пропуска

ср

чт

пт

сб

вс

пн

вт